Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les rivages ne sont pas des arcs de cercle.
C’est ainsi que Benoît Mandelbrot, le mathématicien qui a découvert les fractales, résumait la géométrie du réel.
Et les villes ?
Il se trouve qu’il existe aussi un lien formel entre la récursivité d’un processus de développement urbain, et la fractalité des formes qu’il produit.
Nous pouvons distinguer quatre régimes de production du tissu urbain, qui peuvent être combinés, et qui sont aussi quatre façons de distribuer les milliers de décisions qui font une ville :
- La centralisation,
- La duplication (distribution parcellaire et règles strictes),
- L’incrémentalité
L’urbanisme incrémental, ou la science de l’adaptation des villes
, qui additionne et adapte, - La récursivité
Pourquoi certaines villes donnent le sentiment d’avoir été « engendrées » plutôt que dessinées ?
, qui transforme l’ensemble à chaque étape.
La récursivité est une manière de générer une suite, ou une forme, en répétant une règle sur le résultat obtenu précédemment (par l’application de la même règle). Et ceci génère une propriété géométrique remarquable : la fractalité.
Prenons trois exemples classiques :
1. La suite de Fibonacci
Une suite de nombres dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
Ce qui n’est au départ qu’une addition répétée génère une structure d’une étonnante richesse : on la retrouve dans les spirales des coquillages, la disposition des feuilles sur une tige, la forme des tournesols.
La règle est simple et se répète. Une forme harmonieuse émerge.
2. Le flocon de Koch
On part d’un triangle. À chaque étape, on ajoute un nouveau triangle sur chaque segment. Puis on applique la même règle aux segments nouvellement créés. Et ainsi de suite.
Ce processus génère une forme fractale : elle a une structure auto-similaire, et une complexité qui augmente avec chaque itération.
3. Les arbres
(L-systems)
On part d’un tronc. On applique une règle de ramification : deux branches sortent, à angle donné, du sommet. Puis la même règle est appliquée à chaque branche, puis à chaque sous-branche, etc.
C’est ainsi qu’on simule la croissance des végétaux : par récursivité.
Dans tous ces cas, la récursivité engendre une forme fractale.
La fractalité naît d’un processus où chaque état est généré à partir du précédent. La forme se développe dans le temps, et elle se structure dans l’espace.
Quand le tissu urbain
Qu’est-ce qu’un tissu urbain à fine granularité ?
se développe par la somme de décisions locales,
Quand chaque transformation prend appui sur ce qui a été fait auparavant,
Quand les règles de projet sont suffisamment simples pour être itérées, mais suffisamment ouvertes pour être adaptées…
On voit apparaître des formes fractales :
- des réseaux hiérarchisés,
- des espaces emboîtés,
- des motifs qui traversent les échelles.
En illustration de cet article la ville d’Assis au Brésil, qui combine à merveille les quatre régimes de production du tissu urbain :
- La grille orthogonale initiale,
- l’implantation régulière en pignon sur rue,
- la mixité fonctionnelle et morphologique du bâti qui aboutit à des parcelles découpées sur mesure,
- le raffinement progressif par divisions récursives de certaines parcelles mais pas toutes.
